复合函数求导复合函数求导是微积分中的重要技巧，掌握好链式法则对于解决复杂的求导问题至关重要。

复合函数的基本概念什么是复合函数定义：如果函数 y=f(u)y = f(u)y=f(u) 的定义域包含函数 u=g(x)u = g(x)u=g(x) 的值域，那么函数 y=f(g(x))y = f(g(x))y=f(g(x)) 称为 fff 和 ggg 的复合函数。

记法：y=(f∘g)(x)=f(g(x))y = (f \circ g)(x) = f(g(x))y=(f∘g)(x)=f(g(x))

复合函数的例子例子 1：y=sin⁡(x2)y = \sin(x^2)y=sin(x2)

外层函数：f(u)=sin⁡uf(u) = \sin uf(u)=sinu内层函数：g(x)=x2g(x) = x^2g(x)=x2复合函数：y=f(g(x))=sin⁡(x2)y = f(g(x)) = \sin(x^2)y=f(g(x))=sin(x2)例子 2：y=eln⁡xy = e^{\ln x}y=elnx

外层函数：f(u)=euf(u) = e^uf(u)=eu内层函数：g(x)=ln⁡xg(x) = \ln xg(x)=lnx复合函数：y=f(g(x))=eln⁡x=xy = f(g(x)) = e^{\ln x} = xy=f(g(x))=elnx=x 链式法则基本链式法则数学公式

公式是数学中表达数量关系、结构规律的符号表达式，是解决数学问题的重要工具。重要结论公式应熟练掌握和灵活应用。

链式法则如果 y=f(u)y = f(u)y=f(u)，u=g(x)u = g(x)u=g(x)，则

dydx=dydu⋅dudx=f′(u)⋅g′(x)\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)dxdy​=dudy​⋅dxdu​=f′(u)⋅g′(x)记忆方法：

从外到内逐层求导每层求导后乘以内层函数的导数证明思路：

设 y=f(u)y = f(u)y=f(u)，u=g(x)u = g(x)u=g(x)当 xxx 有增量 Δx\Delta xΔx 时，uuu 有增量 Δu=g(x+Δx)−g(x)\Delta u = g(x + \Delta x) - g(x)Δu=g(x+Δx)−g(x)相应地，yyy 有增量 Δy=f(u+Δu)−f(u)\Delta y = f(u + \Delta u) - f(u)Δy=f(u+Δu)−f(u)当 Δx→0\Delta x \to 0Δx→0 时，Δu→0\Delta u \to 0Δu→0，所以： dydx=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0ΔyΔu⋅ΔuΔx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}dxdy​=limΔx→0​ΔxΔy​=limΔx→0​ΔuΔy​⋅ΔxΔu​=dudy​⋅dxdu​基本例子：

例子 1：求 y=sin⁡(x2)y = \sin(x^2)y=sin(x2) 的导数

解：

外层：f(u)=sin⁡uf(u) = \sin uf(u)=sinu，f′(u)=cos⁡uf'(u) = \cos uf′(u)=cosu内层：g(x)=x2g(x) = x^2g(x)=x2，g′(x)=2xg'(x) = 2xg′(x)=2x复合函数导数：y′=cos⁡(x2)⋅2x=2xcos⁡(x2)y' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)y′=cos(x2)⋅2x=2xcos(x2)例子 2：求 y=ex3y = e^{x^3}y=ex3 的导数

解：

外层：f(u)=euf(u) = e^uf(u)=eu，f′(u)=euf'(u) = e^uf′(u)=eu内层：g(x)=x3g(x) = x^3g(x)=x3，g′(x)=3x2g'(x) = 3x^2g′(x)=3x2复合函数导数：y′=ex3⋅3x2=3x2ex3y' = e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2e^{x^3}y′=ex3⋅3x2=3x2ex3 多层复合函数三层复合函数数学公式

公式是数学中表达数量关系、结构规律的符号表达式，是解决数学问题的重要工具。重要结论公式应熟练掌握和灵活应用。

三层复合函数求导dydx=dydu⋅dudv⋅dvdx=f′(u)⋅g′(v)⋅h′(x)\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = f'(u) \cdot g'(v) \cdot h'(x)dxdy​=dudy​⋅dvdu​⋅dxdv​=f′(u)⋅g′(v)⋅h′(x)例子 1：求 y=sin⁡(ln⁡(x2+1))y = \sin(\ln(x^2 + 1))y=sin(ln(x2+1)) 的导数

解：

最外层：f(u)=sin⁡uf(u) = \sin uf(u)=sinu，f′(u)=cos⁡uf'(u) = \cos uf′(u)=cosu中间层：g(v)=ln⁡vg(v) = \ln vg(v)=lnv，g′(v)=1vg'(v) = \frac{1}{v}g′(v)=v1​最内层：h(x)=x2+1h(x) = x^2 + 1h(x)=x2+1，h′(x)=2xh'(x) = 2xh′(x)=2x复合函数导数：y′=cos⁡(ln⁡(x2+1))⋅1x2+1⋅2x=2xcos⁡(ln⁡(x2+1))x2+1y' = \cos(\ln(x^2 + 1)) \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x\cos(\ln(x^2 + 1))}{x^2 + 1}y′=cos(ln(x2+1))⋅x2+11​⋅2x=x2+12xcos(ln(x2+1))​例子 2：求 y=esin⁡(x3)y = e^{\sin(x^3)}y=esin(x3) 的导数

解：

最外层：f(u)=euf(u) = e^uf(u)=eu，f′(u)=euf'(u) = e^uf′(u)=eu中间层：g(v)=sin⁡vg(v) = \sin vg(v)=sinv，g′(v)=cos⁡vg'(v) = \cos vg′(v)=cosv最内层：h(x)=x3h(x) = x^3h(x)=x3，h′(x)=3x2h'(x) = 3x^2h′(x)=3x2复合函数导数：y′=esin⁡(x3)⋅cos⁡(x3)⋅3x2=3x2cos⁡(x3)esin⁡(x3)y' = e^{\sin(x^3)} \cdot \cos(x^3) \cdot 3x^2 = 3x^2\cos(x^3)e^{\sin(x^3)}y′=esin(x3)⋅cos(x3)⋅3x2=3x2cos(x3)esin(x3) 常见复合函数求导1. 幂函数复合数学公式

公式是数学中表达数量关系、结构规律的符号表达式，是解决数学问题的重要工具。重要结论公式应熟练掌握和灵活应用。

幂函数复合求导(f(x)n)′=n⋅f(x)n−1⋅f′(x)(f(x)^n)' = n \cdot f(x)^{n-1} \cdot f'(x)(f(x)n)′=n⋅f(x)n−1⋅f′(x)例子：

((x2+1)3)′=3(x2+1)2⋅2x=6x(x2+1)2((x^2 + 1)^3)' = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2((x2+1)3)′=3(x2+1)2⋅2x=6x(x2+1)2(sin⁡2x)′=2sin⁡x⋅cos⁡x=sin⁡(2x)(\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot \cos x = \sin(2x)(sin2x)′=2sinx⋅cosx=sin(2x)2. 指数函数复合数学公式

公式是数学中表达数量关系、结构规律的符号表达式，是解决数学问题的重要工具。重要结论公式应熟练掌握和灵活应用。

指数函数复合求导(ef(x))′=ef(x)⋅f′(x)(e^{f(x)})' = e^{f(x)} \cdot f'(x)(ef(x))′=ef(x)⋅f′(x)例子：

(ex2)′=ex2⋅2x=2xex2(e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}(ex2)′=ex2⋅2x=2xex2(esin⁡x)′=esin⁡x⋅cos⁡x(e^{\sin x})' = e^{\sin x} \cdot \cos x(esinx)′=esinx⋅cosx3. 对数函数复合数学公式

公式是数学中表达数量关系、结构规律的符号表达式，是解决数学问题的重要工具。重要结论公式应熟练掌握和灵活应用。

对数函数复合求导(ln⁡f(x))′=f′(x)f(x)(\ln f(x))' = \frac{f'(x)}{f(x)}(lnf(x))′=f(x)f′(x)​例子：

(ln⁡(x2+1))′=2xx2+1(\ln(x^2 + 1))' = \frac{2x}{x^2 + 1}(ln(x2+1))′=x2+12x​(ln⁡∣sin⁡x∣)′=cos⁡xsin⁡x=cot⁡x(\ln|\sin x|)' = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x(ln∣sinx∣)′=sinxcosx​=cotx4. 三角函数复合数学公式

公式是数学中表达数量关系、结构规律的符号表达式，是解决数学问题的重要工具。重要结论公式应熟练掌握和灵活应用。

三角函数复合求导(sin⁡f(x))′=cos⁡f(x)⋅f′(x)(\sin f(x))' = \cos f(x) \cdot f'(x)(sinf(x))′=cosf(x)⋅f′(x)(cos⁡f(x))′=−sin⁡f(x)⋅f′(x)(\cos f(x))' = -\sin f(x) \cdot f'(x)(cosf(x))′=−sinf(x)⋅f′(x)(tan⁡f(x))′=sec⁡2f(x)⋅f′(x)(\tan f(x))' = \sec^2 f(x) \cdot f'(x)(tanf(x))′=sec2f(x)⋅f′(x)例子：

(sin⁡(x3))′=cos⁡(x3)⋅3x2=3x2cos⁡(x3)(\sin(x^3))' = \cos(x^3) \cdot 3x^2 = 3x^2\cos(x^3)(sin(x3))′=cos(x3)⋅3x2=3x2cos(x3)(cos⁡(ln⁡x))′=−sin⁡(ln⁡x)⋅1x=−sin⁡(ln⁡x)x(\cos(\ln x))' = -\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} = -\frac{\sin(\ln x)}{x}(cos(lnx))′=−sin(lnx)⋅x1​=−xsin(lnx)​5. 反三角函数复合数学公式

公式是数学中表达数量关系、结构规律的符号表达式，是解决数学问题的重要工具。重要结论公式应熟练掌握和灵活应用。

反三角函数复合求导(arcsin⁡f(x))′=f′(x)1−f(x)2(\arcsin f(x))' = \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - f(x)^2}}(arcsinf(x))′=1−f(x)2​f′(x)​

(arccos⁡f(x))′=−f′(x)1−f(x)2(\arccos f(x))' = -\frac{f'(x)}{\sqrt{1 - f(x)^2}}(arccosf(x))′=−1−f(x)2​f′(x)​(arctan⁡f(x))′=f′(x)1+f(x)2(\arctan f(x))' = \frac{f'(x)}{1 + f(x)^2}(arctanf(x))′=1+f(x)2f′(x)​

例子：

(arcsin⁡(x2))′=2x1−x4(\arcsin(x^2))' = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}(arcsin(x2))′=1−x4​2x​(arctan⁡(ln⁡x))′=1/x1+(ln⁡x)2=1x(1+(ln⁡x)2)(\arctan(\ln x))' = \frac{1/x}{1 + (\ln x)^2} = \frac{1}{x(1 + (\ln x)^2)}(arctan(lnx))′=1+(lnx)21/x​=x(1+(lnx)2)1​ 练习题练习 1求函数 f(x)=sin⁡(ex2)f(x) = \sin(e^{x^2})f(x)=sin(ex2) 的导数。

参考答案 (2 个标签)导数计算 求导法则解题思路： 这是一个三层复合函数，需要逐层使用链式法则。

详细步骤：

最外层：f(u)=sin⁡uf(u) = \sin uf(u)=sinu，f′(u)=cos⁡uf'(u) = \cos uf′(u)=cosu中间层：g(v)=evg(v) = e^vg(v)=ev，g′(v)=evg'(v) = e^vg′(v)=ev最内层：h(x)=x2h(x) = x^2h(x)=x2，h′(x)=2xh'(x) = 2xh′(x)=2x复合函数导数：f′(x)=cos⁡(ex2)⋅ex2⋅2x=2xex2cos⁡(ex2)f'(x) = \cos(e^{x^2}) \cdot e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}\cos(e^{x^2})f′(x)=cos(ex2)⋅ex2⋅2x=2xex2cos(ex2)答案：f′(x)=2xex2cos⁡(ex2)f'(x) = 2xe^{x^2}\cos(e^{x^2})f′(x)=2xex2cos(ex2)

练习 2求函数 f(x)=ln⁡(sin⁡(x3+1))f(x) = \ln(\sin(x^3 + 1))f(x)=ln(sin(x3+1)) 的导数。

参考答案 (2 个标签)导数计算 求导法则解题思路： 这是一个三层复合函数，使用对数函数和三角函数的复合。

详细步骤：

最外层：f(u)=ln⁡uf(u) = \ln uf(u)=lnu，f′(u)=1uf'(u) = \frac{1}{u}f′(u)=u1​中间层：g(v)=sin⁡vg(v) = \sin vg(v)=sinv，g′(v)=cos⁡vg'(v) = \cos vg′(v)=cosv最内层：h(x)=x3+1h(x) = x^3 + 1h(x)=x3+1，h′(x)=3x2h'(x) = 3x^2h′(x)=3x2复合函数导数：f′(x)=1sin⁡(x3+1)⋅cos⁡(x3+1)⋅3x2=3x2cos⁡(x3+1)sin⁡(x3+1)=3x2cot⁡(x3+1)f'(x) = \frac{1}{\sin(x^3 + 1)} \cdot \cos(x^3 + 1) \cdot 3x^2 = \frac{3x^2\cos(x^3 + 1)}{\sin(x^3 + 1)} = 3x^2\cot(x^3 + 1)f′(x)=sin(x3+1)1​⋅cos(x3+1)⋅3x2=sin(x3+1)3x2cos(x3+1)​=3x2cot(x3+1)答案：f′(x)=3x2cot⁡(x3+1)f'(x) = 3x^2\cot(x^3 + 1)f′(x)=3x2cot(x3+1)

练习 3求函数 f(x)=(x2+1)sin⁡xf(x) = (x^2 + 1)^{\sin x}f(x)=(x2+1)sinx 的导数。

参考答案 (2 个标签)导数计算 求导法则解题思路： 这是一个幂函数复合，需要使用幂函数求导公式。

详细步骤：

外层：f(u)=usin⁡xf(u) = u^{\sin x}f(u)=usinx，f′(u)=sin⁡x⋅usin⁡x−1f'(u) = \sin x \cdot u^{\sin x - 1}f′(u)=sinx⋅usinx−1内层：g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1g(x)=x2+1，g′(x)=2xg'(x) = 2xg′(x)=2x复合函数导数：f′(x)=sin⁡x⋅(x2+1)sin⁡x−1⋅2x=2xsin⁡x(x2+1)sin⁡x−1f'(x) = \sin x \cdot (x^2 + 1)^{\sin x - 1} \cdot 2x = 2x\sin x(x^2 + 1)^{\sin x - 1}f′(x)=sinx⋅(x2+1)sinx−1⋅2x=2xsinx(x2+1)sinx−1答案：f′(x)=2xsin⁡x(x2+1)sin⁡x−1f'(x) = 2x\sin x(x^2 + 1)^{\sin x - 1}f′(x)=2xsinx(x2+1)sinx−1

练习 4求函数 f(x)=arcsin⁡(ln⁡(x2+1))f(x) = \arcsin(\ln(x^2 + 1))f(x)=arcsin(ln(x2+1)) 的导数。

参考答案 (2 个标签)导数计算 求导法则解题思路： 这是一个三层复合函数，包含反三角函数和对数函数。

详细步骤：

最外层：f(u)=arcsin⁡uf(u) = \arcsin uf(u)=arcsinu，f′(u)=11−u2f'(u) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}f′(u)=1−u2​1​中间层：g(v)=ln⁡vg(v) = \ln vg(v)=lnv，g′(v)=1vg'(v) = \frac{1}{v}g′(v)=v1​最内层：h(x)=x2+1h(x) = x^2 + 1h(x)=x2+1，h′(x)=2xh'(x) = 2xh′(x)=2x复合函数导数：f′(x)=11−(ln⁡(x2+1))2⋅1x2+1⋅2x=2x(x2+1)1−(ln⁡(x2+1))2f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (\ln(x^2 + 1))^2}} \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2 + 1)\sqrt{1 - (\ln(x^2 + 1))^2}}f′(x)=1−(ln(x2+1))2​1​⋅x2+11​⋅2x=(x2+1)1−(ln(x2+1))2​2x​答案：f′(x)=2x(x2+1)1−(ln⁡(x2+1))2f'(x) = \frac{2x}{(x^2 + 1)\sqrt{1 - (\ln(x^2 + 1))^2}}f′(x)=(x2+1)1−(ln(x2+1))2​2x​

练习 5求函数 f(x)=esin⁡(ln⁡(x2+1))f(x) = e^{\sin(\ln(x^2 + 1))}f(x)=esin(ln(x2+1)) 的导数。

参考答案 (2 个标签)导数计算 求导法则解题思路： 这是一个四层复合函数，需要逐层使用链式法则。

详细步骤：

最外层：f(u)=euf(u) = e^uf(u)=eu，f′(u)=euf'(u) = e^uf′(u)=eu第二层：g(v)=sin⁡vg(v) = \sin vg(v)=sinv，g′(v)=cos⁡vg'(v) = \cos vg′(v)=cosv第三层：h(w)=ln⁡wh(w) = \ln wh(w)=lnw，h′(w)=1wh'(w) = \frac{1}{w}h′(w)=w1​最内层：k(x)=x2+1k(x) = x^2 + 1k(x)=x2+1，k′(x)=2xk'(x) = 2xk′(x)=2x复合函数导数：f′(x)=esin⁡(ln⁡(x2+1))⋅cos⁡(ln⁡(x2+1))⋅1x2+1⋅2x=2xcos⁡(ln⁡(x2+1))esin⁡(ln⁡(x2+1))x2+1f'(x) = e^{\sin(\ln(x^2 + 1))} \cdot \cos(\ln(x^2 + 1)) \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x\cos(\ln(x^2 + 1))e^{\sin(\ln(x^2 + 1))}}{x^2 + 1}f′(x)=esin(ln(x2+1))⋅cos(ln(x2+1))⋅x2+11​⋅2x=x2+12xcos(ln(x2+1))esin(ln(x2+1))​答案：f′(x)=2xcos⁡(ln⁡(x2+1))esin⁡(ln⁡(x2+1))x2+1f'(x) = \frac{2x\cos(\ln(x^2 + 1))e^{\sin(\ln(x^2 + 1))}}{x^2 + 1}f′(x)=x2+12xcos(ln(x2+1))esin(ln(x2+1))​

练习 6改编自2022考研数学一第2题

设 f(u)f(u)f(u) 可导，z=xyf(yx)z=xyf\left(\frac{y}{x}\right)z=xyf(xy​)，求 ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x}∂x∂z​。

参考答案 (2 个标签)导数计算 求导法则解题思路： 使用复合函数的链式法则和乘积法则。

详细步骤：

设 u=yxu=\frac{y}{x}u=xy​，则 z=xyf(u)z=xyf(u)z=xyf(u)

对 xxx 求偏导，使用乘积法则： ∂z∂x=yf(u)+xyf′(u)⋅∂u∂x\frac{\partial z}{\partial x}=yf(u)+xyf'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}∂x∂z​=yf(u)+xyf′(u)⋅∂x∂u​

计算 ∂u∂x\frac{\partial u}{\partial x}∂x∂u​： u=yxu=\frac{y}{x}u=xy​，所以 ∂u∂x=−yx2\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{y}{x^2}∂x∂u​=−x2y​

代入得到： ∂z∂x=yf(yx)+xyf′(yx)⋅(−yx2)\frac{\partial z}{\partial x}=yf\left(\frac{y}{x}\right)+xyf'\left(\frac{y}{x}\right)\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right)∂x∂z​=yf(xy​)+xyf′(xy​)⋅(−x2y​) =yf(yx)−y2f′(yx)1x=yf\left(\frac{y}{x}\right)-y^2f'\left(\frac{y}{x}\right)\frac{1}{x}=yf(xy​)−y2f′(xy​)x1​

答案：∂z∂x=yf(yx)−y2f′(yx)1x\frac{\partial z}{\partial x}=yf\left(\frac{y}{x}\right)-y^2f'\left(\frac{y}{x}\right)\frac{1}{x}∂x∂z​=yf(xy​)−y2f′(xy​)x1​

练习 7改编自2023考研数学一第3题

设函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 由参数方程 {x=2t+∣t∣y=∣t∣sin⁡t\begin{cases}x=2t+|t|\\y=|t|\sin t\end{cases}{x=2t+∣t∣y=∣t∣sint​ 确定，求 f′(0)f'(0)f′(0)。

参考答案 (2 个标签)导数计算 求导法则解题思路： 使用参数方程求导公式和复合函数求导。

详细步骤：

当 t≥0t\geq0t≥0 时，x=3t,y=tsin⁡tx=3t, y=t\sin tx=3t,y=tsint，所以 y=x3sin⁡x3y=\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}y=3x​sin3x​

当 t<0t<0t<0 时，x=t,y=−tsin⁡tx=t, y=-t\sin tx=t,y=−tsint，所以 y=−xsin⁡xy=-x\sin xy=−xsinx

因此 f(x)={x3sin⁡x3,x≥0−xsin⁡x,x<0f(x)=\begin{cases}\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}, & x\geq0\\-x\sin x, & x<0\end{cases}f(x)={3x​sin3x​,−xsinx,​x≥0x<0​

计算左导数： f−′(0)=lim⁡x→0−−xsin⁡x−0x=−lim⁡x→0−sin⁡x=0f'_-(0)=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{-x\sin x-0}{x}=-\lim\limits_{x\to0^-}\sin x=0f−′​(0)=x→0−lim​x−xsinx−0​=−x→0−lim​sinx=0

计算右导数： f+′(0)=lim⁡x→0+x3sin⁡x3−0x=lim⁡x→0+sin⁡x33=0f'_+(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}-0}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\sin\frac{x}{3}}{3}=0f+′​(0)=x→0+lim​x3x​sin3x​−0​=x→0+lim​3sin3x​​=0

由于左导数和右导数相等，所以 f′(0)=0f'(0)=0f′(0)=0

答案：f′(0)=0f'(0)=0f′(0)=0

练习 8改编自2024考研数学一第1题

已知函数 f(x)=∫0xecos⁡tdtf(x)=\int_0^x e^{\cos t}dtf(x)=∫0x​ecostdt，求 f′(x)f'(x)f′(x) 和 f′′(x)f''(x)f′′(x)。

参考答案 (2 个标签)导数计算 求导法则解题思路： 使用积分上限函数求导公式和复合函数求导。

详细步骤：

根据积分上限函数求导公式： f′(x)=ecos⁡xf'(x)=e^{\cos x}f′(x)=ecosx

对 f′(x)f'(x)f′(x) 再次求导，使用复合函数求导： 设 u=cos⁡xu=\cos xu=cosx，则 f′(x)=euf'(x)=e^uf′(x)=eu

ddx(eu)=eu⋅dudx=ecos⁡x⋅(−sin⁡x)=−ecos⁡xsin⁡x\frac{d}{dx}(e^u)=e^u\cdot\frac{du}{dx}=e^{\cos x}\cdot(-\sin x)=-e^{\cos x}\sin xdxd​(eu)=eu⋅dxdu​=ecosx⋅(−sinx)=−ecosxsinx

答案： f′(x)=ecos⁡xf'(x)=e^{\cos x}f′(x)=ecosx f′′(x)=−ecos⁡xsin⁡xf''(x)=-e^{\cos x}\sin xf′′(x)=−ecosxsinx

练习 9改编自2025考研数学一第1题

已知函数 f(x)=∫0xet2sin⁡t dtf(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dtf(x)=∫0x​et2sintdt，求 f′(x)f'(x)f′(x) 和 f′′(x)f''(x)f′′(x)。

参考答案 (2 个标签)导数计算 求导法则解题思路： 使用积分上限函数求导公式和复合函数求导。

详细步骤：

根据积分上限函数求导公式： f′(x)=ex2sin⁡xf'(x) = e^{x^2} \sin xf′(x)=ex2sinx

对 f′(x)f'(x)f′(x) 再次求导，使用乘积法则和复合函数求导： 设 u=ex2u = e^{x^2}u=ex2，v=sin⁡xv = \sin xv=sinx

u′=ex2⋅2x=2xex2u' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}u′=ex2⋅2x=2xex2（复合函数求导） v′=cos⁡xv' = \cos xv′=cosx

应用乘积法则： f′′(x)=u′v+uv′=2xex2⋅sin⁡x+ex2⋅cos⁡xf''(x) = u'v + uv' = 2x e^{x^2} \cdot \sin x + e^{x^2} \cdot \cos xf′′(x)=u′v+uv′=2xex2⋅sinx+ex2⋅cosx =2xex2sin⁡x+ex2cos⁡x= 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x=2xex2sinx+ex2cosx

答案： f′(x)=ex2sin⁡xf'(x) = e^{x^2} \sin xf′(x)=ex2sinx f′′(x)=2xex2sin⁡x+ex2cos⁡xf''(x) = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos xf′′(x)=2xex2sinx+ex2cosx

练习 10改编自2022考研数学一第17题

设 y=y(x)y=y(x)y=y(x) 满足 y′+12xy=2+xy'+\frac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}y′+2x​1​y=2+x​，y(1)=3y(1)=3y(1)=3，求 y(x)y(x)y(x) 的表达式。

参考答案 (2 个标签)导数计算 求导法则解题思路： 使用一阶线性微分方程的求解方法。

详细步骤：

这是一个一阶线性微分方程：y′+12xy=2+xy'+\frac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}y′+2x​1​y=2+x​

积分因子：μ(x)=e∫12xdx=ex\mu(x)=e^{\int\frac{1}{2\sqrt{x}}dx}=e^{\sqrt{x}}μ(x)=e∫2x​1​dx=ex​

方程两边乘以积分因子： exy′+ex12xy=(2+x)exe^{\sqrt{x}}y'+e^{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}y=(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}ex​y′+ex​2x​1​y=(2+x​)ex​

左边可以写成：(exy)′=(2+x)ex(e^{\sqrt{x}}y)'=(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}(ex​y)′=(2+x​)ex​

积分得：exy=∫(2+x)exdxe^{\sqrt{x}}y=\int(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}dxex​y=∫(2+x​)ex​dx

计算积分：∫(2+x)exdx=2∫exdx+∫xexdx\int(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}dx=2\int e^{\sqrt{x}}dx+\int\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}dx∫(2+x​)ex​dx=2∫ex​dx+∫x​ex​dx

设 u=xu=\sqrt{x}u=x​，则 dx=2ududx=2ududx=2udu，积分变为： 2∫eu⋅2udu+∫ueu⋅2udu=4∫ueudu+2∫u2eudu2\int e^u\cdot2udu+\int ue^u\cdot2udu=4\int ue^udu+2\int u^2e^udu2∫eu⋅2udu+∫ueu⋅2udu=4∫ueudu+2∫u2eudu

使用分部积分法求解，最终得到： y(x)=e−x(2xex+C)y(x)=e^{-\sqrt{x}}\left(2x e^{\sqrt{x}}+C\right)y(x)=e−x​(2xex​+C)

由 y(1)=3y(1)=3y(1)=3，得 C=eC=eC=e，所以： y(x)=e−x(2xex+e)y(x)=e^{-\sqrt{x}}\left(2x e^{\sqrt{x}}+e\right)y(x)=e−x​(2xex​+e)

答案：y(x)=e−x(2xex+e)y(x)=e^{-\sqrt{x}}\left(2x e^{\sqrt{x}}+e\right)y(x)=e−x​(2xex​+e)

总结中英对照中文术语英文术语音标说明复合函数composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃən/由多个函数复合而成的函数链式法则chain rule/tʃeɪn ruːl/复合函数求导的基本法则外层函数outer function/ˈaʊtə ˈfʌŋkʃən/复合函数中最外层的函数内层函数inner function/ˈɪnə ˈfʌŋkʃən/复合函数中最内层的函数逐层求导differentiate layer by layer/dɪfəˈrenʃɪeɪt ˈleɪə baɪ ˈleɪə/从外到内逐层使用链式法则求导 上一章节 导数运算法则下一章节 反函数求导 课程路线图1高等数学之函数探秘

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